¿Qué fenómenos o situaciones se describen con los datos que arroja esta sucesión?
- La fórmula de fibonaccia aunque no es muy conocida en el ambiente cotidiado, tal parece que la naturaleza la incorpora dentro de si como lo muestran los siguintes ejemplos:
- Las ramas y las hojas de las plantas se distribuyen buscando siempre recibir el máximo de luz para cada una de ellas. Por eso ninguna hoja nace justo en la vertical de la anterior.
- La distribución de las hojas alrededor del tallo de las plantas se produce siguiendo secuencias basadas exclusivamente en estos números.
- El número de espirales en numerosas flores y frutos también se ajusta a parejas consecutivas de términos de esta sucesión: los girasoles tienen 55 espirales en un sentido y 89 en el otro, o bien 89 y 144.
- Las margaritas presentan las semillas en forma de 21 y 34 espirales.
En cuanto al arte ocurre el mismo patron:
- La relación entre las partes, el techo y las columnas del Partenón, en Atenas (s. V a. C..
- En los violines, la ubicación de las efes (los “oídos”, u orificios en la tapa) se relaciona con el número áureo.
- El número áureo aparece en las relaciones entre altura y ancho de los objetos y personas que aparecen en las obras de Miguel Ángel, Durero y Da Vinci, entre otros.
- Las relaciones entre articulaciones en el hombre de Vitruvio y en otras obras de Leonardo da Vinci.
- En las estructuras formales de las sonatas de Mozart, en la Quinta Sinfonía de Beethoven, en obras de Schubert y Debussý.
Los datos anteriores fueron tomados de la siguiente pagina web:
Ahora bien, vamos a representar la fórmula explícita con sus pasos.
1. Para encontrar la fórmula explicita primero debemos tomar su relación de recurrencia que sería:
2. El polinomio característico de esta relación de recurrencia es t2 − t − 1 = 0, y sus raíces son:
3. De esta manera, la fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci tiene la forma:
4. Si se toman en cuenta las condiciones iniciales, entonces las constantes b y d satisfacen la ecuación anterior cuando n = 0 y n = 1, es decir que satisfacen el sistema de ecuaciones:
5. Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene :
6. Por lo tanto, cada número de la sucesión de Fibonacci puede ser expresado como:
Una vez mas repetimos los datos son de:
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